Deret aritmatika adalah rangkaian bilangan dengan perbedaan tetap antara setiap pasang bilangan berurutan. Sejak zaman kuno, deret pada aritmatika telah menyediakan landasan penting dalam berbagai bidang ilmu, termasuk matematika, fisika, ekonomi, dan statistik.

Pemahaman tentang deret pada aritmatika menjadi dasar bagi penyelesaian masalah yang melibatkan penjumlahan berulang dari angka atau nilai yang berkembang secara teratur. Pada materi ini, kamu akan menjelaskan beberapa konsep dasar dan terminologi yang berkaitan dengan deret ini.

Kamu juga akan mempelajari mengenai beberapa teknik untuk mengidentifikasi pola dan menghitung nilai-nilai dalam deret ini. Kamu dapat memperhatikan penjelasan dengan baik agar dapat memahami konsep deret ini.

Daftar Isi

Barisan dan Deret Aritmatika

Pada aritmatika, terdapat dua bagian, yaitu barisan dan deret. Dua hal ini perlu untuk kamu ketahui agar dapat memahami perbedaannya dan penggunaannya. Pemahaman ini juga dapat digunakan agar kamu bisa menyelesaikan soal dengan baik.

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah suatu rangkaian bilangan yang memiliki perbedaan tetap antara setiap pasang bilangan yang berurutan. Sementara itu, deret pada aritmatika adalah hasil penjumlahan dari seluruh bilangan yang terdapat dalam barisan aritmatika tersebut.

Ciri khas dari barisan aritmatika adalah terdapat selisih yang selalu konstan di antara setiap pasang suku berurutan, sementara deret pada aritmatika ditandai oleh penjumlahan dari bilangan-bilangan yang memiliki selisih tetap.

Dalam mencari suku ke-n pada barisan aritmatika, terdapat rumus umum yang digunakan, yaitu Un = a + (n-1)b. Dalam rumus ini, Un adalah suku ke-n, a adalah suku pertama dalam barisan, n merupakan urutan suku yang ingin dicari, dan b adalah beda antara setiap suku dalam barisan itu.

Selanjutnya, untuk menghitung jumlah dari n suku pertama dalam barisan aritmatika adalah dengan menggunakan rumus umum berikut: Sn = 1/2n(2a + (n-1)b). Dalam rumus ini, Sn menyatakan jumlah dari n suku pertama.

Keterangan selanjutnya, a adalah suku pertama dalam barisan, n adalah jumlah suku yang dijumlahkan, dan b adalah beda antara suku-suku dalam barisan tersebut.

Dengan memahami konsep dan rumus-rumus tersebut, kamu dapat dengan mudah mengaplikasikan deret dalam aritmatika dalam berbagai situasi dan menyelesaikan masalah yang melibatkan barisan bilangan dengan pertambahan yang teratur.

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah hasil penjumlahan dari n suku pertama (Sn) dalam barisan aritmatika. Ciri khas deret pada aritmatika adalah setiap suku bilangan yang dijumlahkan memiliki selisih yang tetap. Sebagai contoh, kamu dapat mengamati deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + …, dan seterusnya.

Perbedaan antara deret pada aritmatika dengan deret geometri terletak pada pola atau karakteristik barisan yang berlaku. Deret pada aritmatika berlaku untuk barisan aritmatika, yang ditandai dengan suku-suku bilangan yang dijumlahkan memiliki selisih yang tetap.

Sementara itu, deret geometri berlaku untuk barisan geometri, yang polanya mengikuti perkalian atau pembagian dengan selisih rasio yang tetap antara setiap sukunya.

Contohnya sebagai berikut:

Deret pada aritmatika: Misalnya, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + … Ciri khas: Suku-suku bilangan dijumlahkan dengan selisih yang selalu tetap.
Deret geometri: Sebagai contoh, 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + … Ciri khas: Suku-suku bilangan dihasilkan melalui perkalian dengan rasio yang tetap.

Jadi, perbedaan mendasar antara deret pada aritmatika dan deret geometri terletak pada karakteristik pola barisannya, deret pada aritmatika memiliki selisih antar suku yang tetap, sedangkan deret geometri mengikuti pola perkalian atau pembagian dengan rasio yang tetap antarsuku berurutan.

Rumus Deret Aritmatika

Berikut adalah penjelasan mengenai rumus-rumus dalam barisan aritmatika:

1. Suku ke-n (Un)

Rumus untuk mencari suku ke-n (Un) dalam barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

Un = a + (n-1)b

Dalam rumus di atas, “Un” merupakan nilai dari suku ke-n yang ingin diketahui, “a” adalah suku pertama dalam barisan aritmatika, “n” adalah urutan suku yang dicari, dan “b” adalah selisih antara setiap suku dalam barisan tersebut.

2. Jumlah n Suku Pertama (Sn)

Selain itu, terdapat rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama (Sn) dalam deret aritmatika adalah:

Sn = 1/2n(2a + (n-1)b)

Pada rumus ini, “Sn” merupakan hasil penjumlahan dari n suku pertama, “a” adalah suku pertama dalam barisan aritmatika, “n” adalah jumlah suku yang ingin dijumlahkan, dan “b” adalah selisih antara suku-suku dalam barisan.

3. Suku Tengah (Ut)

Tak hanya itu, terdapat juga rumus untuk menemukan suku tengah (Ut) dalam barisan aritmatika:

Ut = (a + Un) ÷ 2

Dalam rumus ini, “Ut” adalah nilai dari suku tengah, “a” adalah suku pertama dalam barisan, dan “Un” adalah suku terakhir dalam barisan. Untuk mendapatkan suku tengah, kamu perlu mengetahui nilai suku awal (a) dan suku terakhir (Un), kemudian membagi hasil penjumlahan keduanya dengan 2.

Contoh Soal Deret Aritmatika

Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang dapat menambah pemahaman kamu terhadap baris dan deret pada aritmatika.

Soal: Jika suku ke-2 dari suatu deret adalah 5. Jika total nilai suku ke-4 dan suku ke-6 dalam deret tersebut adalah 28, maka nilai suku ke-9 adalah …

Jawaban: Untuk mencari suku ke-9 (Un), kamu perlu terlebih dahulu mencari beda antar suku (b) dalam deret pada aritmatika ini. Dari suku ke-2 ke suku ke-4, beda antar suku adalah sama dengan beda antar suku ke-4 dan suku ke-6.

Jadi, suku ke-4 dapat dihitung dengan 5 + 2b dan suku ke-6 adalah 5 + 4b. Karena jumlah dari suku ke-4 dan suku ke-6 adalah 28, maka 5 + 2b + (5 + 4b) = 28. Dari perhitungan ini, didapatkan nilai b = 3.

Selanjutnya, suku ke-9 dapat dihitung dengan menggunakan rumus deret aritmatika: Un = a + (n-1)b, dengan a adalah suku pertama, n adalah urutan suku yang ingin dicari, dan b adalah beda antar suku. Dengan menggantikan nilai yang diketahui, suku ke-9 adalah 5 + (9-1)3 = 5 + 8×3 = 29.

Soal: Tentukan suku ke-100 dari barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, …

Jawaban: Suku pertama (a) dalam deret ini adalah 2, dan beda antar suku (b) adalah 3. Untuk mencari suku ke-100 (Un), kamu dapat menggunakan rumus deret pada aritmatika: Un = a + (n-1)b. Dengan menggantikan nilai yang diketahui, suku ke-100 adalah 2 + (100-1)3 = 2 + 99×3 = 299.

Soal: Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmetika: 17, 15, 13, 11, …

Jawaban: Suku pertama (a) dalam deret ini adalah 17, dan beda antar suku (b) adalah -2. Untuk mencari suku ke-21 (Un), kamu menggunakan rumus deret pada aritmatika: Un = a + (n-1)b. Dengan menggantikan nilai yang diketahui, suku ke-21 adalah 17 + (21-1)(-2) = 17 + 20x(-2) = -23.

Untuk menambah pemahaman, kamu dapat menyelesaikan soal cerita deret aritmatika berikut ini.

Soal: Dalam sebuah toko buku, harga buku setiap harinya mengalami kenaikan sebesar Rp 500. Harga buku pada hari Senin adalah Rp 10.000. Tentukan harga buku pada hari Jumat.

Jawaban: Untuk mencari harga buku pada hari Jumat, kita perlu menggunakan konsep deret pada aritmatika. Suku pertama (a) adalah Rp 10.000, dan beda antar suku (b) adalah Rp 500.

Karena hari Senin adalah hari pertama, maka hari Jumat adalah hari kelima. Suku ke-5 (Un) dapat dicari dengan rumus Un = a + (n-1)b. Sehingga, harga buku pada hari Jumat adalah Rp 10.000 + (5-1) x Rp 500 = Rp 12.000.

Soal: Seorang petani menanam pohon jeruk di kebunnya. Setiap tahun, jumlah buah yang dihasilkan bertambah 50 buah dari tahun sebelumnya. Pada tahun pertama, pohon jeruk menghasilkan 100 buah. Tentukan jumlah buah yang dihasilkan pada tahun ke-5.

Jawaban: Untuk mencari jumlah buah yang dihasilkan pada tahun ke-5 (Sn), kita menggunakan rumus deret pada aritmatika. Suku pertama (a) adalah 100, dan beda antar suku (b) adalah 50. Karena tahun pertama adalah tahun pertama, maka tahun ke-5 adalah tahun kelima.

Sehingga, jumlah buah yang dihasilkan pada tahun ke-5 adalah Sn = 1/2 x 5 x (2 x 100 + (5-1) x 50) = 750 buah.

Soal: Seorang atlet berlatih lari setiap hari. Pada hari pertama, ia berlari sejauh 2 kilometer. Setiap harinya, jarak yang ia tempuh bertambah 500 meter dari hari sebelumnya. Tentukan jarak yang ia tempuh pada hari ke-10.

Jawaban: Untuk mencari jarak yang ia tempuh pada hari ke-10 (Un), kita menggunakan rumus deret pada aritmatika. Suku pertama (a) adalah 2 kilometer, dan beda antar suku (b) adalah 500 meter. Karena hari pertama adalah hari pertama, maka hari ke-10 adalah hari kesepuluh.

Sehingga, jarak yang ia tempuh pada hari ke-10 adalah Un = a + (n-1) x b = 2 + (10-1) x 0,5 = 6 kilometer.

Soal: Seorang pedagang es krim menjual es krim dengan harga Rp 10.000 pada hari Senin. Setiap harinya, harga es krim naik sebesar Rp 1.000. Maka, tentukan harga eskrim pada hari Jumat.

Jawaban: Suku pertama (a) = Rp 10.000 Beda antar suku (b) = Rp 1.000 Karena hari Senin adalah hari pertama, maka hari Jumat adalah hari kelima (n = 5).

Rumus yang digunakan adalah: Un = a + (n-1) x b. Maka, harga es krim pada hari Jumat (Un) dapat dihitung sebagai berikut: Un = Rp 10.000 + (5-1) * Rp 1.000 Un = Rp 10.000 + 4 * Rp 1.000 Un = Rp 10.000 + Rp 4.000 Un = Rp 14.000. Jadi, harga es krim pada hari Jumat adalah Rp 14.000.

Penutup

Baris dan deret aritmatika merupakan materi yang perlu untuk dipelajari dengan baik. Kamu dapat melakukan latihan dengan mengerjalan beberapa contoh soal agar dapat menambah pemahaman mengenai materi ini. Sebelumnya, tentunya kamu perlu untuk memahami konsep dari baris dan deret.

Baca Juga: